Proyecto Computacion y Matematicas: GEOMETRÍA

Geometría

Una línea es una sucesión continua de puntos interminables e infinitos. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección. Puede ser de varios tipos.

Planas (dos dimensiones)

Una sucesión continua de puntos contenidos en unplano, aunque siga cualquier criterio, se denomina línea. Puede ser:

§ Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.

§ Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.

§ Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.

§ poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.

§ poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.

§ Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.

Espaciales (tres dimensiones)

También, una línea es el lugar geométrico de una sucesión continua de puntos en un espaciotridimensional, aunque siga cualquier criterio. Puede ser:

§ Línea recta, curva o quebrada, similares a las anteriores.

§ Línea curva alabeada, la que presenta formas redondeadas y no puede ser contenida en un plano.

§ Línea quebrada tridimensional, la que presenta puntos angulosos y no puede ser contenida en un plano.

§ Línea mixta tridimensional, una combinación de las anteriores.

Definición 1

Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos , y .

Definición 2

Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección del semiplano de borde que contiene al punto C, el semiplano que contiene al punto A y el semiplano que contiene al punto B.

Según sus lados

 Equilátero: tres lados iguales

 Isósceles: dos lados iguales.

 Escaleno: tres lados desiguales.

Según sus ángulos

 Acutángulo: tres ángulos agudos

 Rectángulo: un ángulo recto

 Obtusángulo: un ángulo obtuso

Igualdad de triángulos

Dos triángulos son congruentes cuando tienen todos sus lados y ángulos respectivamente congruentes.

Sólo es necesario verificar que ciertos elementos sean congruentes para que dos triángulos sean iguales, por lo que se definen 4 criterios de igualdad de triángulos. A partir de los criterios de igualdad anteriores derivan los criterios de igualdad detriángulos rectángulos.

La igualdad de triángulos cumple las propiedadesreflexiva, simétrica y transitiva.

Propiedades de la igualdad de triángulos

 Carácter reflexivo:Todo triángulo es igual a si mismo.

 Carácter simétrico: Si un triángulo es igual a otro, éste es igual a primero.

 Carácter transitivo: Si un triángulo es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primero es igual al tercero.

Criterios de igualdad de triángulos

 Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son iguales.

 Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, son iguales.

 Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales.

 Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales.

Clasificación de las figuras y cuerpos geométricos
Figuras geometrícas	Polígonos Nombre según los lados 3-Triángulo 4-Cuadrilátero 5-Pentágono 6-Hexágono 7-Heptágono 8-Octógono 9-Eneágono 10-Decágono 11-Endecágono 12-Dodecágono 13-Tridecágono 14-Tetradecágono 15-Pentadecágono De más lados se nombran como poligonos de n lados Se denominan poligonos regulares si tienen todos los ángulos y lados iguales.	Triángulos	Según los lados	Equilátero
				Isósceles
				Escaleno
			Según los ángulos	Acutángulo
				Rectángulo
				Obtusángulo
		Cuadriláteros	Paralelogramo	Cuadrado
				Rectángulo
				Rombo
				Romboide
			Trapecio	isósceles
				escaleno
				rectángulo
			Trapezoide
	Cónicas	Circunferencia
		Parábola
		Elipse
		Hipérbola
Cuerpos Geometrícos	Poliedros Nombre según las caras 4-Tetraedro 5-Pentaedro 6-Hexaedro 7-Heptaedro 8-Octaedro 9-Eneadero 10-Decaedro 11-Endecaedro 12-Dodecaedro 13-Tridecaedro 14-Tetradecaedro 15-Pentadecaedro De más lados se nombran como poliedro de n lados Se denominan poliedros regulares si tienen todos los ángulos y lados iguales. Poliedros	Según las cualidades de las estructuras que los componen		Prismas
				Paralelepipedos
				Pirámides
		Poliedro regulares		Tetraedro regular
				Hexaedro regular Cubo
				Octaedro regular
				Dodecaedro regular
				Icosaedro regular
	Cuerpos redondos	Cilindro
		Cono
		Esfera

El Teorema de Pitágorasestablece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $a \,$ y $b \,$ , y la medida de la hipotenusa es $c \,$ , se establece que:

$c^2 = b^2 + a^2 \,$

Semejanza

Se llaman dos objetos geométricos similar si es unocongruente al resultado de un uniforme escalamiento(agrandando o contrayéndose) del otro. Uno se puede obtener del otro uniformemente “estirando”, posiblemente con la rotación adicional, es decir, ambos tienen igual forma, o además imagen del espejo se toma, es decir, uno tiene la misma forma que la imagen del espejo del otro. Por ejemplo, todos círculos son similares el uno al otro, todoscuadrados están similares el uno al otro, y todos parábolassea similar el uno al otro. Por otra parte, elipses sea no todo similar el uno al otro, ni seahipérbolas todo similar el uno al otro. Dostriángulos sea similar si y solamente si tienen los mismos tres ángulos, la condición supuesta del “AAA”. Sin embargo, puesto que la suma de los ángulos interiores en un triángulo está fijada eneuclidiano acepille, mientras dos ángulos sean iguales, los tres son, llamado “AA”.

Triángulos similares

Si triángulo ABC es similar al triángulo DEF, entonces esta relación se puede denotar como

Para que dos triángulos sean similares, él sean suficientes para que tengan por lo menos dos ángulos que emparejen. Si esto es verdad, después el tercer ángulo también emparejará, puesto que los tres ángulos de un triángulo deben agregar hasta 180°.

Suponga ese triángulo ABC es similar al triángulo DEF de una manera tal que el ángulo en la cima A es congruente con el ángulo en la cima D, el ángulo en B es congruente con el ángulo en E, y el ángulo enC es congruente con el ángulo en F. Entonces, una vez que se sepa esto, es posible a deduzcaproporcionalidades entre los lados correspondientes de los dos triángulos, tales como el siguiente:

Esta idea se puede ampliar a similar polígonos con cualquier número de lados. Es decir, dado cualquier dos polígonos similares, los lados correspondientes sonproporcional.

Ángulo/semejanzas laterales

Un concepto enseñado comúnmente en matemáticas de la High School secundaria es el de probar los teoremas del “ángulo” y del “lado”, que se pueden utilizar para definir dos triángulos como similares (o de hecho, congruente).

En cada uno de estas siglas de la tres-letra, A soportes para los ángulos iguales, y S para los lados iguales. Por ejemplo,ASA refiere a un ángulo, a un lado y a un ángulo que sean todos igual y adyacente, en esa orden.

AAA - Ángulo-Ángulo-Ángulo. Si dos triángulos comparten tres ángulos comunes, son similares. (Obviamente, esto significa que las longitudes laterales están trabadas en un cociente común, pero puede variar proporcional, haciendo los triángulos similares.) además, puesto que los ángulos interiores de un triángulo tienen una suma de 180°, teniendo dos triángulos con solamente dos ángulos comunes (conocidos a veces como AA) implica semejanza también.

Vea también: Congruencia (geometría)

Semejanza en espacio euclidiano

Uno de los significados de los términos semejanza ytransformación de la semejanza (también llamadodilatación) de a Espacio euclidiano es a función f del espacio en sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo positivo escalarr, de modo que para cualquieres dos puntos x y ytenemos

donde “d(x,y) “es Distancia euclidiana de x a y. Se llaman dos sistemas similar si uno es la imagen del otro bajo tal semejanza.

Un caso especial es atransformación homothetic o semejanza central: ni implica la rotación ni tomar la imagen del espejo. Una semejanza es una composición de un homothety y isometry.

El ver plano complejo como espacio de 2 dimensiones sobre reals, las 2.as transformaciones de la semejanza expresadas en términos de plano complejo son $f$ $(z) =$ $az$ $+$ $b$ y , y todosafine las transformaciones esté de la forma (a, b, y ccomplejo).

Espacios métricos de la semejanza en general

En un general espacio métrico(X, d), un exacto similitudees a función f del espacio métrico X en sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo positivo escalarr, llamado factor de la contracción de la f, de modo que para cualquieres dos puntos x y ytenemos

Versiones más débiles de la semejanza por ejemplo tendrían f sea un bi-Lipschitzfunción y el escalar r un límite

Esta versión más débil se aplica cuando el métrico es una resistencia eficaz en un sistema topológico self-similar.

Un subconjunto self-similar de un espacio métrico (X, d) es un sistema K para cuál allí existe un sistema finito de similitudes con factores de la contracción tales que K es el subconjunto compacto único de X para cuál

Estos sistemas self-similar tienen un self-similar medida $μ$ $D$ con la dimensión D dado por el fórmula

cuál es a menudo (pero no siempre) igual al sistemaDimensión de Hausdorff ydimensión del embalaje. Si los traslapos entre $f s$ $(K)$ somos “pequeños”, tenemos el fórmula simple siguiente para la medida:

Topología

En topología, a espacio métrico puede ser construido definiendo a semejanza en vez de a distancia. La semejanza es una función tales que su valor es mayor cuando dos puntos están más cercanos (contrario a la distancia, de la cual es una medidadesemejanza: cuanto más cercanos están los puntos, los menos la distancia).

La definición de la semejanza puede variar entre los autores, dependiendo de quienes se desean las características. Las características comunes básicas son

El positivo definió:
Majored por la semejanza de un elemento en sí mismo (automóvil-semejanza): y

Más características se pueden invocar, por ejemploreflectividad () o aspecto finito (). El valor superior se fija a menudo en 1 (creando una posibilidad de una interpretación probabilistic del similitude).

TEOREMAS:

Aqui hay videos de los principales teoremas, explicados paso por paso.

http://www.youtube.com/watch?v=ONqDME_Y62Q 1

http://www.youtube.com/watch?v=objc-cCxRtQ 2

http://www.youtube.com/watch?v=lI2nhQae3G8 3

http://www.youtube.com/watch?v=8EcBqvwJuzg 4

http://www.youtube.com/watch?v=RJn4O6xyOas 5